Expresiones Algebraicas

 

Expresiones algebraicas son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal. Por ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal a3b2c. Nótese que los exponentes se consideran parte literal.

Profundizando un poco más en lo mencionado líneas arriba, existen básicamente dos tipos de expresiones algebraicas, y son:
a) Monomios: Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son:

4x4y2 como se puede ver es una sola expresión con parte numérica y parte literal
8a3b2c en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1
m2n3 en este caso aparentemente no hay una parte literal, cuando esto suceda nosotros sabremos que hay un 1, así: 1m2n3


b) Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o restando. Ejemplos de polinomios son:

3x2y +5x3y2 Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los exponentes no son iguales.
3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio.
a3 -a2b +2ab2 -5b3 Otro ejemplo de polinomio.
 

Grados Relativo y Absoluto

En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a cada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a toda la expresión).

a) En un monomio:
    a.1) Grado Relativo: Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:

4a3b2 En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.
GR(a) = 3     (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2     (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
x5y3z En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1
GR(x) = 5     (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3     (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1     (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

    a.2) Grado Absoluto: Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:

4a3b2 El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:
GA = 3 +2 = 5     (el Grado Absoluto es 5)
x5y3z Recordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1
GA = 5 +3 +1 = 9     (el Grado Absoluto es 9)

b) En un polinomio:
    b.1) Grado Relativo: Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

4a3b2 +5a5b En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.
4a3b2 +5a5b1 Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"
4a3b2 +5a5b1 Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)
GR(a) = 5     (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
4a3b2 +5a5b1 Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).
GR(b) = 2     (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del segundo.

    b.2) Grado Absoluto: Sigamos con el mismo ejemplo:

4a3b2 +5a5b Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.
4a3b2 +5a5b1 Completo los exponentes que "no se ven" con 1.
4a3b2 +5a5b1 Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.
4a3b2 +5a5b1 Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.
4a3b2 +5a5b1 Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6     (el Grado Absoluto es 6)

 

Polinomios Completos

Nosotros podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Por ejemplo, si nos dan el polinomio: 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5, y nos dicen que evaluemos si este es completo, nosotros debemos observar los exponentes.

Para facilitarnos las cosas hemos completado los exponentes: 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

Como podemos observar, al termino en el cual la letra x no tenia exponente le hemos colocado el 1 que correspondía.
Cuando encontremos un número solo (como en el ejemplo encontramos el número 5), a este se le llama término independiente y se asume que lleva la misma letra que los demás términos elevado a exponente 0.

Observemos los exponentes, encontramos que el más alto es 5 (en el término +3x5), y estarán también el 4, el 3, el 2, el 1 y el 0. Es decir, entre el 5 y el 0 estarán todos los números consecutivos, entonces nosotros afirmamos que se trata de un polinomio completo.

 

Polinomios Ordenados

En el ejemplo anterior hemos visto los exponentes del polinomio están todos los números consecutivos entre el 0 y el 5, pero están en completo desorden.
El polinomio era (luego de completarlo):  6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0
Empezaba con exponente 3, luego bajaba a exponente 1, subía a exponente 5, bajaba a exponente 2, subía a exponente 4 y finalmente bajaba a exponente 0.

Veamos ahora el siguiente polinomio: 5a2 +3a3 -a5 +a8

Evidentemente no es un polinomio completo, pero veamos como van sus exponentes. Empieza con exponente 2, luego sube a exponente 3, sube a exponente 5 y finalmente sube a exponente 8. Es decir, los exponentes van subiendo; si esto sucede nosotros decimos que se trata de un polinomio ordenado ascendente.

Lógicamente también puede haber un polinomio ordenado en forma descendente:
5x6 +3x5 -2x2 +x, el cual, después de completarlo quedaría: 5x6 +3x5 -2x2 +x1
Nótese que los exponentes van bajando, será entonces un polinomio ordenado descendente.

Existe un tipo muy especial de polinomio que comparte las características de un polinomio completo y de un polinomio ordenado, a este se le conoce como polinomio completo y ordenado. Por ejemplo:
x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x -1, que es lo mismo que decir, x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x1 -1x0

En este último ejemplo observamos, primero que están todos los exponentes consecutivos del 0 al 6; pero además que estos exponentes están ordenados en forma ascendente ya que siempre van subiendo. Por lo tanto, nosotros decimos que estamos frente a un polinomio completo y ordenado.

 

Polinomios Homogéneos

Recordemos que un polinomio esta formado por dos o más términos que se están sumando o restando. Así podemos decir que el siguiente: 3a2b + 5ab2 -3abc, es un polinomio de tres términos: el primero de ellos es 3a2b, el segundo es +5ab2 y el tercero es -3abc.

Ahora voy a sumar los exponentes de cada término:
Primer término:        3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3
Segundo término:    +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3
Tercer término:        -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3

Observamos que en todos los casos el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo (para nuestro ejemplo es 3), entonces nosotros podemos decir que se trata de un polinomio homogéneo.

Ahora, existe también un polinomio que reúne características de un polinomio completo, de un polinomio ordenado y de un polinomio homogéneo. A este se le llama polinomio completo, ordenado y homogéneo. Por ejemplo:
2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4

El polinomio anterior se puede escribir también de la siguiente manera:
2a4b0 -3a3b1 + a2b2 +5a1b3 -a0b4

Hemos completado los términos donde no había una de las letras con esta elevada a exponente 0, y hemos colocado el exponente 1 en donde no había exponente.

Veamos primero para la letra a: están todos los exponentes consecutivos del 4 al 0, y además están ordenados. Ahora para la letra b: también están todos los exponentes consecutivos del 0 al 4 y además están ordenados. Podemos afirmar que se trata de un polinomio completo y ordenado.

Evaluemos ahora la suma de los exponentes término por término: para el primer término será 4 +0 =4; para el segundo 3 +1 =4; para el tercero 2 +2 =4; para el cuarto 1 +3 =4; para el quinto y último 0 +4 =4. Vemos que todos los resultados son iguales, podemos afirmar que se trata de un polinomio homogéneo.

Finalmente el polinomio: 2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4, es un polinomio completo, ordenado y homogéneo.

Ejercicios

Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes monomios:

a) 3ab2c3d4 Solución:
3a1b2c3d4
GR(a) = 1
GR(b) = 2
GR(c) = 3
GR(d) = 4
GA  = 10
b) 2mn3 Solución:
2m1n3
GR(m) = 1
GR(n)  = 3


GA = 4
c) xyz Solución:
x1y1z1
GR(x) = 1
GR(y) = 1
GR(z) = 1

GA = 3


Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes polinomios:

a) 4x2y -5xy3 +3xyz Solución:
4x2y1 -5x1y3 +3x1y1z1
GR(x) = 2
GR(y) = 3
GR(z) = 1
GA  =  4
b) b3 -2a2b2 +3a3c Solución:
b3 -2a2b2 +3a3c1
GR(a) = 3
GR(b) = 3
GR(c) = 1
GA  =  4


Determinar que características tienen los siguientes polinomios:

a) 3x2 +5x4 -3x +2 -x3 P. Completo b) 2a4 -3a2 +a P. Ordenado
c) 3a4 +a2b2 - 5xy3 P. Homogéneo d) 5 +3x +2x3 -x5 P. Ordenado
e) 3a4 -a3b +2a2b2 +5ab3 -b4 P. Completo, Ordenado y Homogéneo
f) 3x5 +x4 -2x3 +3x2 -x +1 P. Completo y Ordenado
 

Factorización:


Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes.
Por ejemplo :
Factorizar los siguientes números
15= 3x 5
27=3 x 9
99 = 9 x 11
6 = 3 x 2 y así
En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones.
Como por ejemplo :
Diferencia de Cuadrados:
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa es la manera de factorizarlas.
Veamos algunos ejemplos.
4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)
25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)
c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)
De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:
9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)
121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9)
64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4)
Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos.
Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento.
Y también se aplica a números fraccionarios.
(Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2).
Por ejemplo:
5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2)
9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5)
11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8)
125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94)
(a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² =
{( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)} Respuesta

Factorizaciòn de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Por adición o substracción.


Veamos un ejemplo
Factorizar a4+ a² +1 (Perdon ese 4 es exponente lo exprese asi por que no hay exponente 4 en mi editor)
Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer termino de lo que quedaría
(a² +1 )² pero si desarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a².
Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión .
Entonces : a4+ a² +1 = (a ² +1 )² - a² = (a ² +1+ a) - (a²+1 - a) Respuesta
De manera semejante se resuelven estos ejercicios
Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 =
Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer termino
( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4 + 81 n8 Faltan -25m2n4
( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta
Factorizar a4- 16 a² b²+36 b4 =
( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y²
( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta
Factorizar x4+ 2x² y²+y4
Realizando operaciònes
( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y²
( x² - y²)² - 4x²y² = (x² - y² +2xy ) (x² - y² +2xy ) Respuesta

 

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